Materi Logika

Logika

Logika merupakan studi penalaran (reasoning), yaitu cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman.

Ilmu Logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements).

Contoh :

Semua pengendara sepeda motor memakai helm

Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa

Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa

1.1.      Proposisi

Di dalam matematika, tidak semua statement berhubungan dengan logika.

Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition)

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.

Contoh :

(a)        6 adalah bilangan genap

(b)        Soekarno adalah presiden Indonesia yang kedua

(c)        2 + 2 = 4

(d)        Ibukota Propinsi Jawa Barat adalah Semarang

(e)        12 > 19

(f)         Kemarin hari hujan

(g)        Suhu di permukaan laut adalah -10 derajat celcius

(h)        Gadis itu tinggi

(i)          Kehidupan hanya ada di Planet Bumi

Perhatian Contoh berikut ini :

(a)        Jam berapa kereta api Bromo tiba di Gambir ?

(b)        Serahkan uangmu sekarang !

(c)        X + 3 = 8

(d)        X > 3

Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,.......misalnya,

p : 6 adalah bilangan genap

q : Soekarno adalah presiden Indonesia yang kedua

r : 2 + 2 = 4

Sifat-Sifat Relasi

Sifat-Sifat Relasi

1.         Refleksif (Reflexive)

Definisi :

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap a Î A

Definisi di atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).

Contoh 1 :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :

a.    Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)

b.    Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena tidak terdapat (3,3).

Contoh 2 :

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat posifit selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga (a,a) Î R untuk setiap a Î A.

Contoh 3 :

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif

R : x lebih besar dari y

S : x + y = 5

T : 3x + y = 10

Mana diantara ketiga relasi tersebut yang bersifat refleksif ?

Kriptografi

Kriptografi

Kriptografi adalah ilmu untuk menjaga keamanan pesan.

Keamanan pesan diperoleh dengan menyandikannya menjadi pesan yang tidak mempunyai makna.

Contoh :

BALOK                         menjadi            KBALO

Pesan yang dirahasiakan dinamakan plainteks (plaintext, artinya teks jelas yang dapat dimengerti)

sedangkan pesan hasil penyandian disebut cipherteks (ciphertext, artinya teks tersandi).

Proses menyandikan plainteks menjadi cipherteks disebut enkripsi (encryption)

dan

membalikkan cipherteks menjadi plainteks disebut dekripsi (decryption)

1.       Notasi Matematika

Jika plainteks dilambangkan dengan P dan cipherteks dilambangkan dengan C, maka fungsi enkripsi E memetakan P ke C

            E(P) = C

Pada proses kebalikannya, fungsi dekripsi D memetakan C ke P

               

D(C) = P

Algoritma kriptografi atau cipher adalah fungsi matematika yang digunakan untuk enkripsi dan dekripsi.

Contoh :

Algoritma berupa mempertukarkan pada setiap kata karakter pertama dengan karakter kedua, karakter ketiga dengan karakter keempat dan seterusnya.

Contohnya :

                Plainteks                       :           STIKOMPOLTEKCIREBON

            Ciperteks                      :           TSKIMOOPTLKEICEROBN                                              

Contoh Sejarah :

Ada suatu kisah…..Di Jaman Pemerintahan Julius Caesar, teknik kriptografi yang digunakan yaitu Caesar Cipher.

Pada Caesar Cipher, tiap huruf disubsitusi dengan huruf ketiga berikutnya dari susunan alphabet.

Dalam hal ini, kuncinya adalah jumlah pergeseran huruf (yaitu 3). Susunan alphabet setelah digeser sejauh 3 huruf adalah :

Plainteks      

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Cipherteks  

D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

Jadi :

Huruf A pada plainteks disubsitusi dengan D

Huruf B pada plainteks disubstitusi dengan E

demikian seterusnya.

Dengan mengkodekan setiap huruf alphabet dengan integer : A = 0, B = 1, ……., Z = 25, maka secara matematika pergeseran 3 huruf alphabet ekivalen dengan melakukan operasi mod terhadap plainteks p menjadi cipherteks c dengan persamaan :

                E(P) = C  menjadi          à         E(P + 3) mod 26

è       E(15 + 3) mod 26

è       S

Contoh :

            AWAS KUCING GALAK

Disandikan dengan Caesar Cipher yaitu mengkodekan A = 0, B = 1, ……, Z = 25, maka cipherteks-N dapat dihitung :

E(P) = C  menjadi          à         (P + 3) mod 26

P₁ = A = 0         à C₁ = E(0) = (0 + 3) mod 26 = 3 = D

P₂ = W = 22      à C₂ = E(22) = (22 + 3) mod 26 = 25 = Z

P₃ = A = 0         à C₃ = E(0) = (0 + 3) mod 26 = 3 = D

P₄ = S = 18       à C₄ = E(18) = (18 + 3) mod 26 = 21 = V

dst……

Cipherteks-nya gimana …..?

Perhatikan pesan mengembalikan lagi cipherteks dengan operasi kebalikan yang secara matematis dapat dinyatakan dengan persamaan :

                D(C)  = P   menjadi        à         (C – 3) mod 26

2.       Algoritma Simetris Bujursangkar Vigenere

Simetris Bujursangkar Vigenere adalah suatu algoritma yang tergolong ke dalam algoritma subtitusi abjad majemuk. Ini artinya setiap huruf yang sama dalam plaintext tidak dipetakan. Melainkan disubtitusi oleh huruf yang berlainan bergantung dari kunci yang digunakan untuk melakukan enkripsi.

Algoritma ini ditemukan oleh diplomat sekaligus kriptologis dari Prancis, Blaise de Vigènere pada abad 16. Simetris Bujursangkar Vigenere dipublikasikan pada tahun 1856, tetapi algoritma ini baru dikenal luas 200 tahun kemudian.

Proses enkripsi dalam Simetris Bujursangkar Vigenere dilakukan dengan menggunakan bujursangkar vigenere. Bujursangkar vigenere berisi huruf-huruf abjad yang disusun sedemikian rupa. Kolom paling kiri menyatakan huruf-huruf kunci sedangkan baris paling atas menyatakan huruf-huruf plainteks.

Proses enkripsi dilakukan dengan cara menarik garis vertikal ke bawah dari huruf plaintext hingga berada pada baris dari huruf kunci. Selanjutnya huruf yang merupakan perpotongan antara huruf plainteks dan huruf kunci merupakan huruf cipherteks.

Sedangkan proses dekripsi dilakukan sebaliknya,yaitu dengan cara menarik garis horizontal dari kunci ke kanan hingga menemukan huruf yang sesuai dengan huruf ciperteks. Selanjutnya tariklah garis vertikal ke atas hingga sampai ke huruf plainteks.

Contoh :

Plainteks                       : T        U          G          A          S          T         

Kunci                : R        B          S          C          T          W        

Ciperteks                      : K        V          Y          C          L          P            

Pseudo-code untuk enkripsi :

            i ß 1

            While i <= 6

                        read alfabet[i]

                        konversi_alfabet ß (0+mathcon(alfabet[i])-1

                        read kunci[i]

                        konversi_kunci ß (0+mathcon(kunci[i])-1

                        ngitung = 25 – konversi_kunci

                        if konversi_alfabet < ngitung then

                          C ß mathcon(alfabet[i]) + konversi_kunci                    

                        else

                           C ß konversi_alfabet – ngitung

            End While

Bujursangkat Vigenere