Logika
Logika merupakan
studi penalaran (reasoning), yaitu
cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan
dengan perasaan atau pengalaman.
Ilmu Logika
difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements).
Contoh :
Semua pengendara sepeda motor memakai helm
Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa
Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa
1.1.
Proposisi
Di dalam matematika, tidak semua statement berhubungan
dengan logika.
Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang
digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition)
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.
Contoh :
(a)
6 adalah bilangan
genap
(b)
Soekarno adalah
presiden Indonesia yang kedua
(c)
2 + 2 = 4
(d)
Ibukota Propinsi
Jawa Barat adalah Semarang
(e)
12 > 19
(f)
Kemarin hari
hujan
(g)
Suhu di permukaan
laut adalah -10 derajat celcius
(h)
Gadis itu tinggi
(i)
Kehidupan hanya
ada di Planet Bumi
Perhatian Contoh
berikut ini :
(a)
Jam berapa kereta
api Bromo tiba di Gambir ?
(b)
Serahkan uangmu
sekarang !
(c)
X + 3 = 8
(d)
X > 3
Secara simbolik,
proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,.......misalnya,
p : 6 adalah
bilangan genap
q : Soekarno
adalah presiden Indonesia yang kedua
r : 2 + 2 = 4
1.2.
Mengkombinasikan
Proposisi
Kita dapat
mengkombinasikan proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih
proposisi.
Operator yang
digunaka untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika.
Operator logika
terdiri dari 3 yaitu :
- dan (and)
- atau (or)
- tidak (not)
Operator and dan or dinamakan operator biner
karena mengoperasikan dua buah proposisi.
Operator not dinamakan operator uner karena hanya membutuhkan satu buah
proposisi.
Proposisi baru
yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition).
Proposisi yang
bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik.
Dengan kata lain,
proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik.
Proposisi majemuk
ada 3 macam :
- konjungsi
- disjungsi
- ingkaran
Contoh :
Misalkan p dan q
adalah proposisi
a. Konjungsi p dan q,
dinyatakan dengan notasi p ^ q adalah proposisi p
dan q
b. Disjungsi p dan q, dinyatakan dengan notasi p v q
adalah proposisi p atau q
c. Ingkaran dari p,
dinyatakan dengan notasi ~p adalah
proposisi tidak p
Berikut ini
contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi
majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika
Contoh 1 :
Diketahui
proposisi-proposisi berikut ini :
p
: Hari ini hujan
q
: Mahasiswa diliburkan dari kampus
maka :
p ^ q :
Hari ini hujan dan mahasiswa
diliburkan dari
kampus
p v q :
Hari ini hujan atau mahasiswa
diliburkan
dari kampus
~p :
Tidak benar hari ini hujan
(Hari ini tidak hujan)
Contoh 2 :
Diketahui
proposisi-proposisi berikut ini :
p
: Hari ini hujan
q
: Hari ini dingin
maka :
q v ~p :
Hari ini dingin atau hari ini tidak hujan
(Hari ini dingin atau tidak hujan)
~p ^ ~q : Hari ini tidak hujan dan hari ini
tidak
dingin
(Hari ini tidak hujan maupun dingin)
~(~p) :
Tidak benar hari ini tidak hujan
(Salah bahwa hari ini tidak hujan)
Contoh 3 :
Diketahui
proposisi-proposisi berikut ini :
p
: Gadis itu tinggi
q
: Gadis itu pintar
Nyatakan
proposisi di bawah ini ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik) :
p : Gadis itu tinggi
q
: Gadis itu pintar
(a)
Gadis itu tinggi
dan pintar
p ^ q
(b)
Gadis itu tinggi
tapi tidak pintar
p ^ ~q
(c)
Gadis itu tidak
tinggi maupun pintar
~p ^ ~q
(d)
Tidak benar bahwa
(gadis itu pendek atau tidak pintar)
~(~p v ~q)
(e)
Gadis itu tinggi,
atau (pendek dan
pintar)
p v (~p ^ q)
(f)
Tidak benar bahwa
(gadis itu pendek maupun pintar)
~(~p ^ ~q)
1.3.
Tabel Kebenaran
Nilai kebenaran
dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya
dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.
|
p
|
q
|
p ^ q
|
|
p
|
q
|
p v q
|
|
p
|
~p
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
|
|
|
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
|
|
|
Contoh :
Jika p, q,
dan r adalah proposisi. Bentuklah
tabel kebenaran dari ekspresi logika di bawah ini :
(p
^ q) v (~q ^ r)
Jawabannya :
Ada 3 buah
proposisi atomik di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai
2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semua proposisi tersebut
adalah 2 x 2 x 2 = 8 buah.
Maka tabel
kebenarannya sbb :
(p ^ q)
v (~q ^ r)
|
p
|
q
|
r
|
p ^ q
|
~q
|
~q ^ r
|
(p ^ q) v (~q ^ r)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Sebuah proposisi
majemuk disebut tautologi jika ia
benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi
jika ia salah untuk semua kasus,
Contoh :
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Proposisi majemuk
p v ~(p ^ q) adalah sebuah tautologi karena kolom terakhir pada
tabel kebenarannya hanya memuat T
Sedangkan (p ^ q) ^ ~(p v q) adalah sebuah kontradiksi
karena kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat F.
Berikut Tabel
Kebenarannya untuk Tautologi dari
Proposisi majemuk p v ~(p ^ q)
|
p
|
q
|
p ^ q
|
~(p ^ q)
|
p v ~(p ^ q)
|
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
Berikut Tabel
Kebenarannya untuk Kontradiksi
dari Proposisi
majemuk (p ^ q) ^ ~(p v q)
|
p
|
q
|
p ^ q
|
p v q
|
~(p v q)
|
(p ^ q) ^ ~(p v q)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
1.4.
Disjungsi
Eksklusif
Khusus untuk
disjungsi eksklusif kita menggunakan operator logika xor yang definisinya sebagai berikut :
Misalkan p dan q adalah proposisi. Eksklusif logika p dan q dinyatakan dengan
notasi p Å q, adalah
proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar, selain itu
nilainya salah.
Contoh Tabel
kebenarannya :
|
p
|
q
|
p Å q
|
|
T
|
T
|
F
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
Proposisi untuk
disjungsi eksklusif ditulis sebagai berikut :
“Pemenang lomba
panjat pinang mendapat hadiah berupa Tablet Samsung atau Uang 6 juta”
1.5.
Proposisi
Bersyarat (Implikasi)
Selain dalam
bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga dapat
muncul berbentuk “jika p, maka q”, seperti pada contoh-contoh berikut :
- Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari nenek
- Jika suhu mencapai 1000C, maka alarm ruangan
ini berbunyi
- Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap
mengundurkan diri
Pernyataan
berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi
bersyarat atau kondisional atau implikasi.
Contoh Tabel
kebenarannya :
|
P
|
q
|
p à q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
Perhatikan contoh
analogi berikut ini :
Misalkan dosen
anda berkata kepada mahasiswanya di dalam kelas “Jika nilai ujian akhir anda
diatas 80, maka anda mendapat nilai A untuk matakuliah tersebut”.
Apakah dosen anda
mengatakan kebenaran atau dia berbohong.
Tinjau empat
kasus berikut ini :
Kasus 1 :
Nilai ujian akhir
anda diatas 80 (hipotesis benar) dan
anda mendapat nilai A untuk matakuliah tersebut (konklusi benar). Pada kasus ini, dosen anda amanat
(pernyataannya benar)
Kasus 2 :
Nilai ujian akhir
anda diatas 80 (hipotesis benar)
tetapi anda tidak mendapat nilai A untuk matakuliah tersebut (konklusi salah). Pada kasus ini, dosen
anda berbohong (pernyataannya salah)
Kasus 3 :
Nilai ujian akhir
anda dibawah 80 (hipotesis salah) dan
anda mendapat nilai A untuk matakuliah tersebut (konklusi benar). Pada kasus ini, dosen anda tidak dapat dikatakan
salah (mungkin dosen tersebut melihat kemampuan anda secara rata-rata sehingga
dosen tersebut tidak ragu memberi nilai A)
Kasus 4 :
Nilai ujian akhir
anda dibawah 80 (hipotesis salah) dan
anda mendapat tidak mendapat nilai A untuk matakuliah tersebut (konklusi salah). Pada kasus ini, dosen
anda benar.
Implikasi p à q memainkan peranan penting
dalam penalaran. Implikasi ini tidak hanya diekspresikan dalam pernyataan
standard “jika p, maka q” tetapi juga dapat diekspresikan dalam
berbagai cara, antara lain :
(a)
Jika p, maka q
(b)
Jika p, q
(c)
p mengakibatkan q
(d)
q jika p
(e)
p hanya jika q
(f)
p syarat cukup
agar q
(g)
q syarat perlu
bagi p
(h)
q bilamana p
Contoh proposisi
majemuknya sebagai berikut :
Jika p, maka q
(a)
Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur
Jika p, q
(b)
Jika tekanan gas
diperbesar,
mobil melaju kencang
p mengakibatkan q
(c)
Es yang mencair
di kutub mengakibatkan permukaan air
laut menaik
q jika p
(d)
Orang itu
berangkat ke kota jika ia diberi
ongkos jalan
p hanya jika q
(e)
Teguh mengambil
matakuliah Teori Bahasa Formal hanya
jika ia sudah lulus matakuliah Logika Informatika
p syarat cukup agar q
(f)
Andi menyalakan
rokok di pom bensin Kedawung syarat
cukup agar pom bensin kedawung meledak
q syarat perlu bagi p
(g)
Timnas Indonesia
menaturalisasi Lionel Messi syarat perlu bagi Indonesia menjadi Juara Piala
Dunia.
q bilamana p
(h)
MU menjadi juara
Liga Inggris bilamana Robin Van
Persie menjadi Top Scorer Liga Inggris.
1.6.
Varian Proposisi Bersyarat
Terdapat bentuk implikasi
lain yang berkaitan dengan p à q yaitu
proposisi sederhana yang merupakan varian
dari implikasi.
Ketiga varian
proposisi bersyarat tersebut adalah konvers,
invers, dan kontraposisi dari
proposisi asal p à q.
Konvers : q à p
Invers : ~p à ~q
Kontraposisi : ~q à ~p
Contoh Tabel kebenarannya :
|
P
|
q
|
~p
|
~q
|
Implikasi p à q
|
Konvers
q à p
|
Invers
~p à ~q
|
Kontraposisi
~q à ~p
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
Perhatian contoh berikut ini :
“Jika Teguh mempunyai emas 100 kg, maka ia orang kaya”
Jawabannya :
Konvers : q à p
Konvers : Jika
Teguh orang kaya, maka ia mempunyai
emas 100 kg
Invers : ~p à ~q
Invers : Jika Teguh
tidak punya emas 100 kg, maka
ia bukan orang
kaya
Kontraposisi : ~q à ~p
Kontraposisi : Jika Teguh
bukan orang kaya, maka ia
tidak punya emas
100 kg.
1.7.
Bikondisional
(Bi-implikasi)
Proposisi
bersyarat lainnya adalah berbentuk “p
jika dan hanya jika q” yang dinamakan
bikondisional atau bi-implikasi dan dilambangkan dengan p n q.
Pernyataan p n q adalah benar
bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama, yakni p n q benar jika p dan q keduanya benar atau p
dan q keduanya salah.
Contoh Tabel
kebenarannya :
|
p
|
q
|
p n q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
Contoh proposisi
majemuknya :
(a)
1 + 1 = 2 jika
dan hanya jika 2 + 2 = 4
(b)
Lionel Messi
pemain sepakbola jika dan hanya jika Argentina sebuah negara
(c)
Stikom Poltek
Cirebon adalah kampus jika dan hanya jika Empal Gentong makanan khas Bandung
Tidak ada komentar:
Posting Komentar