Sifat-Sifat Relasi

Sifat-Sifat Relasi

1.         Refleksif (Reflexive)

Definisi :

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap a Î A

Definisi di atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).

Contoh 1 :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :

a.    Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)

b.    Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena tidak terdapat (3,3).

Contoh 2 :

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat posifit selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga (a,a) Î R untuk setiap a Î A.

Contoh 3 :

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif

R : x lebih besar dari y

S : x + y = 5

T : 3x + y = 10

Mana diantara ketiga relasi tersebut yang bersifat refleksif ?

2.         Setangkup (Symmetric) dan Tolak-Setangkup (Antisymmetric)

Definisi Setangkup (Symmetric) :

Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) Î R, maka (b,a) Î R , untuk a,b Î A

Definisi di atas menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a,b) Î R sedemikian sehingga (b,a) Ï R.

Contoh :

Misalkan A adalah himpunan mahasiswa Teknik Informatika STIKOM Poltek Cirebon dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika a satu jurusan dengan b.

Maka jika dibalik, b pun se-jurusan dengan a. Jadi bisa dikatakan bahwa R setangkup.

Contoh lain :

Misalkan T adalah relasi pada himpunan bilangan bulat positif  sedemikian sehingga (a,b) Î T jika dan hanya jika a ³ b.

Jelas dong...T tidak setangkup, karena misalnya (6,5) Î T tetapi (5,6) Ï T.

Definisi Tolak-Setangkup (antisymmetric) :

Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b) Î R dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A.

Definisi di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) Ï R kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b  sedemikian  sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R.

Contoh :

Misalkan A adalah himpunan tes seleksi yang diadakan untuk masuk bekerja ke sebuah perusahaan (misalnya tes membaca cepat, tes menulis cepat, tes berjalan cepat, dsb).

Terus.....misalkan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika tes a dilakukan sebelum tes b.

Jadi jelas dong....jika tes a dilakukan sebelum tes b, tes b tidak mungkin dilakukan sebelum tes a untuk dua tes a dan b yang berbeda.

Dengan kata lain, (b,a) Ï R kecuali a = b. Jadi R adalah relasi tolak-setangkup.

Contoh lagi :

Misalkan A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :

-       Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)} bersifat setangkup karena jika (a,b) Î R maka (b,a) juga Î R.

Disini  (1,2) dan (2,1) Î R,  begitu  juga  (2,4)  dan  (4,2) Î R.

-       Relasi R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak setangkup karena (2,3) Î R tetapi (3,2) Ï R

-       Relasi R = {(1,1), (2,2), (3,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, (2,2) Î R dan 2 = 2, (3,3) Î R dan 3 = 3.

Betul ngga yach....bahwa R juga setangkup ??

-       Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, serta (2,2) Î R dan 2 = 2.

Betul ngga yach....bahwa R tidak setangkup ??

-       Relasi R = {(1,1), (2,4), (3,3), (4,2)} tidak tolak-setangkup karena 2 ≠ 4 tetapi (2,4) dan (4,2) anggota R.

-        Relasi R = {(1,2), (2,3), (1,3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.

 

Contoh berikutnya :

1.    Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b.

Misalnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu (2,4) Î R tetapi (4,2) Ï R.

2.    Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

Misalnya, 4 habis membagi 4 maka oleh karena itu (4,4) Î R dan 4 = 4.

Contoh lagi ??

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilanga bulat positif.

        R : x lebih besar dari y

        S : x + y = 6

        T : 3x + y = 10

R bukan relasi setangkup karena, misalnya 5 lebih besar dari 3, tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.

S relasi setangkup karena, misalnya (4,2) dan (2,4) adalah anggota S.

T tidak setangkup karena, misalnya (3,1) adalah anggota T tetapi (1,3) bukan anggota T.

S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalnya (4,2) dan (4,2) Î S tetapi 4 ≠ 2.

R dan T keduanya tolak-setangkup.....sok buktikan !!!

3.         Menghantar (transitive)

Definisi :

Relasi  R  pada  himpunan  A disebut menghantar jika (a,b) Î R  dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk semua a,b,c Î A

Ilustrasinya :

Misalkan A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika b adalah keturunan a.

Jika b adalah keturunan a, yaitu (a,b) Î R,  dan c adalah keturunan  b,  yaitu  (b,c) Î R  maka c juga keturunan a, yaitu (a,c) Î R.

Jadi, R adalah relasi menghantar. Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î T jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar.

Contoh 1 :

Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :

(a) R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} bersifat menghantar. Perhatikan tabel berikut :

Pasangan berbentuk

(a,b)	(b,c)	(a,c)
(3,2)	(2,1)	(3,1)
(4,2)	(2,1)	(4,1)
(4,3)	(3,1)	(4,1)
(4,3)	(3,2)	(4,2)

(b) R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) Î R, tetapi (2,2) Ï R, begitu juga (4,2) dan (2,3) Î R, tetapi (4,3) Ï R.

(c)    R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} jelas menghantar.....mangga buktikan !!!

Contoh 2 :

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb.

Disini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.

Contoh 3 :

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif

        R : x lebih besar dari y

        S : x + y = 6

        T : 3x + y = 10

R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.

S tidak menghantar karena, misalkan (4,2) dan (2,4) adalah anggota S tetapi (4,4) Ï S.

T tidak menghantar karena, misalkan T = {(1,7), (2,4), (3,1)}